问题详情:
某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究,所要制作的纸杯如图1所示,规格要求是:杯口直径AB=6cm,杯底直径CD=4cm,杯壁母线AC=BD=6cm.请你和他们一起解决下列问题:
(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2,忽略拼接部分),得到图形是圆环的一部分.
①图2中弧EF的长为 cm,弧MN的长为 cm;
②要想准确画出纸杯侧面的设计图,需要确定弧MN所在圆的圆心O,如图3所示.小顾同学发现有=,请你帮她*这一结论.
③根据②中的结论,求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n.
(2)小顾同学计划利用正方形纸片一张,按如图*所示的方式剪出这个纸杯的侧面,求正方形纸片的边长.
【回答】
【考点】圆的综合题.
【专题】综合题.
【分析】(1)①直接根据圆的周长公式计算;
②设它所对的圆心角的度数为n,根据弧长公式得到的长=,的长=,然后把它们相比即可得到=;
③由(2)中的结论得到得==,加上OF=ON+6,可求得ON=12,再利用弧长公式得到=4π,于是可求出n=60°;
(2)如图4,连结EF,OB,它们相交于点P,先*△OEF为等边三角形得到EF=OF=18,再*Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF,则BE=BF,于是可判断OB垂直平分EF,所以PF=EF=9,由勾股定理计算出OP==9,由△PFB为等腰直角三角形和得到PB=PF=9,则OB=9+9,然后根据正方形的*质得OC=OB=.
【解答】(1)解:①如图2,弧EF的长为6πcm,弧MN的长为4πcm;
故*为6π,4π;
②*:如图3,设它所对的圆心角的度数为n,
的长=,的长=,
所以=;
③由(2)得==,
而OF=ON+6,
解得ON=12,
即r=12,
因为=4π,
解得n=60°;
(2)解:如图4,连结EF,OB,它们相交于点P,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OC,∠OBC=45°,
∵∠OEF=60°,OE=OF,
∴△OEF为等边三角形,
∴EF=OF=18,
在Rt△AOE和Rt△COF中,
,
∴Rt△AOE≌Rt△COF,
∴AE=CF,
∴BE=BF,
∴OB垂直平分EF,
∴PF=EF=9,
∴OP==9,
∵△PFB为等腰直角三角形,
∴PB=PF=9,
∴OB=9+9,
∴OC=OB=,
即正方形纸片的边长为cm.
【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆的有关*质和正方形的*质;记住弧长公式;学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题.
知识点:弧长和扇形面积
题型:综合题