问题详情:
如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上的一点,AE⊥EF,下列结论:①∠BAE=30°;②CE2=AB•CF;③CF=FD;④△ABE∽△AEF.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
B【考点】相似三角形的判定与*质;正方形的*质.
【分析】由正方形的*质和三角函数得出∠BAE<30°,①不正确;由题中条件可得△CEF∽△BAE,进而得出对应线段成比例,得出②正确,CF=FD,③不正确;进而又可得出△ABE∽△AEF,得出④正确,即可得出题中结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CAD,∠B=∠C=∠D=90°,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE=BC=AB,
∵AE>AB,
∴sin∠BAE=<,
∴∠BAE<30°,①不正确;
∵AE⊥EF,∴∠BAE=∠CEF,
∴△CEF∽△BAE,
∴==,
∴CE•BE=AB•CF,CF=BE=CD,
∵BE=CE,CF=FD,
∴CE2=AB•CF,②正确,③不正确;
由△CEF∽△BAE可得,
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同,
∴∠EAF=∠BAE,
又∠B=∠C=90°.
∴△ABE∽△AEF,
∴④正确;
正确的有2个,
故选:B.
【点评】本题主要考查了正方形的*质、相似三角形的判定及*质、三角函数;熟练掌握正方形的*质,*三角形相似是解决问题的关键.
知识点:相似三角形
题型:选择题