问题详情:
如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为*线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(提示:正方形的四条边都相等,四个角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为 ,线段CF、BD的数量关系为 ;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足 条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),不用说明理由.
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)①*△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD与CF相等且垂直;
②①的结论仍成立,同理*△DAB≌△FAC,可得结论:垂直且相等;
(2)当∠ACB满足45°时,CF⊥BC;如图4,作辅助线,*△QAD≌△CAF,即可得出结论.
【解答】解:(1)①CF与BD位置关系是垂直,数量关系是相等,理由是:
如图2,∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∴∠DAC+∠CAF=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,且∠B=∠ACB=45°,
∴∠CAF=∠BAD,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°,
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
即∠BCF=90°,
∴BC⊥CF,
即BD⊥CF;
故*为:垂直,相等;
②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立,理由是:
如图3,由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(2)当∠BCA=45°时,CF⊥BD,理由是:
如图4,过点A作AQ⊥AC,交BC于点Q,
∵∠BCA=45°,
∴∠AQC=45°,
∴∠AQC=∠BCA,
∴AC=AQ,
∵AD=AF,∠QAC=∠DAF=90°,
∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
∴∠QAD=∠CAF,
∴△QAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AQD=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
【点评】本题是四边形的综合题,考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的*质和判定,本题的三个结论都是*三角形全等得出,所以利用SAS*三角形全等是本题的关键;第(2)问,恰当地作辅助线,构建等腰直角三角形,同样也是构建两个三角形全等得出结论.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题