问题详情:
已知实数a,b满足ln(b+1)+a﹣3b=0,实数c,d满足,则(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为 .
【回答】
1 .
【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(a﹣c)2+(b﹣d)2的几何意义是点(b,a)到点(d,c)的距离的平方,而点(b,a)在曲线y=3x﹣ln(x+1)上,点(d,c)在直线y=2x+上.故(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方.利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程,再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值.
【解答】解:由ln(b+1)+a﹣3b=0,得a=3b﹣ln(b+1),则点(b,a)是曲线y=3x﹣ln(x+1)上的任意一点,
由2d﹣c+=0,得c=2d+,则点(d,c)是直线y=2x+上的任意一点,
因为(a﹣c)2+(b﹣d)2表示点(b,a)到点(d,c)的距离的平方,即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方,
所以(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方.
y'=,令y'=2,得x=0,此时y=0,即过原点的切线方程为y=2x,
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1.
故*为:1.
知识点:基本初等函数I
题型:填空题