问题详情:
已知命题A:函数f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间[-1,3]上的最小值为2;
命题B:若g(x)=且g(x)>1对任意x∈R恒成立;
命题C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0}.
(1)若A,B,C中至少有一个为真命题,试求实数m的取值范围.
(2)若A,B,C中恰有一个为假命题,试求实数m的取值范围.
【回答】
(1)因为f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2,
所以只有x=2m时,f(x)的最小值为2.
又因为f(x)在区间[-1,3]上的最小值为2,
所以-1≤2m≤3,所以-≤m≤,
所以命题A为真的条件是-≤m≤.
因为g(x)=
当x≥m时,g(x)=2x-m在[m,+∞)上单调递增,g(x)min=g(m)=m;
当x<m时,g(x)=m=g(x)min,
所以x∈R时,g(x)的最小值为m,
所以命题B为真的条件是m>1.
因为{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0},
所以m>2m+1或或
所以m<-1或m≥2或m∈∅,
所以命题C为真的条件是m<-1或m≥2.
因为命题A,B,C都为假的条件是
-1≤m<-,
所以命题A,B,C中至少有一个为真命题的条件是m<-1或m≥-.
(2)当A假,B,C为真时,m≥2;
当A真,B假,C为真时,m∈∅;
当A真,B真,C为假时,
1<m≤,
所以A,B,C中恰有一个为假命题的条件是m≥2或1<m≤.
知识点:常用逻辑用语
题型:解答题