问题详情:
我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为 ;
(2) 如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求*:BD是△ABC的“內似线”;
(3) 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.
【回答】
(1) 解:等边三角形“內似线”的条数为3条;理由如下:
过等边三角形的内心分别作三边的平行线,如图1所示:
则△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”;
故*为:3;
(2) *:∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴△BCD∽△ABC,
∴BD是△ABC的“內似线”;
(3) 解:设D是△ABC的内心,连接CD,
则CD平分∠ACB,
∵EF是△ABC的“內似线”,
∴△CEF与△ABC相似;
分两种情况:①当==时,EF∥AB,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
作DN⊥BC于N,如图2所示:
则DN∥AC,DN是Rt△ABC的内切圆半径,
∴DN=(AC+BC﹣AB)=1,
∵CD平分∠ACB,
∴=,
∵DN∥AC,
∴=,即,
∴CE=,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,即,
解得:EF=;
②当==时,同理得:EF=;
综上所述,EF的长为.
知识点:相似三角形
题型:解答题