问题详情:
如图,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B,C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.
第9题图
【回答】
解:(1)∵直线y=-x+与x轴交于点B,与y轴交于点C,
∴令x=0得y=,令y=0得x=3,
∴点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,).
∴tan∠CBO==,
∴∠CBO=30°,
∴∠BCO=60°,
∵AC⊥BC,
∴∠ACO=30°,
∴AO=CO·tan∠ACO=×=1,
∴点A的坐标为(-1,0);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+;
(3)∵MD∥y轴,
∴∠MDH=60°,
∵MH⊥BC,
∴∠DMH=30°,
∴HD=MD,MH=MD,
设点D的坐标为(t,-t+),则点M的坐标为(t,-t2+t+),
∵点M在BC直线上方抛物线上,
∴MD=(-t2+t+)-(-t+)
=-t2+t
=-(t-)2+.
∵0<t<3,
∴当t=时,MD最大,且MD的最大值为,
∴△DMH的周长的最大值为(1++)×=.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题