問題詳情：
已知點
在拋物線
上，若以
爲圓心的圓與
軸有兩個交點
，且
兩點的橫座標是關於
的方程
的兩根．
（1）當
在拋物線上運動時，
在
軸上截得的弦長是否變化？爲什麼？
（2）若
與
軸的兩個交點和拋物線的頂點
構成一個等腰三角形，試求
的值．
【回答】
（1）不變，弦長始終爲2，理由見解析；（2）
或
或
或
或
【分析】
(1)設
兩點的橫座標分別是
，由韋達定理結合點
在拋物線上求出
即可求解；
(2)按照等腰三角形頂角不同分成三類討論，逐個求解即可．
【詳解】
解：（1）設
兩點的橫座標分別是
，由根與係數的關係知
，
那麼：
，
又因爲
在拋物線
上，所以
．故
，
故*爲: 弦長AB不變，始終爲2；
(2)
，
①當C爲等腰三角形頂角時：
，此時M點與C點重合，A、B兩點關於y軸對稱，即
，∴
；
②當A爲等腰三角形頂角時:
，且
，
∴
，解得
，
當
時，
，對應的
，
當
時，
，對應的
，
③當B爲等腰三角形頂角時：
，且
，
∴
，解得
，
當
時，
，對應的
，
當
時，
，對應的
，
綜上所述：
或
或
或
或
．
【點睛】
本題考查了圓中弦長的求法，韋達定理，二次函數上點的座標特徵，等腰三角形的存在*問題等，屬於一道綜合題，計算過程中細心是解決本題的關鍵．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
