問題詳情:
如圖,正方形ABCD的邊長爲4,點E、F分別是BC,CD邊上的動點,且CE+CF=4,DE和AF相交於點P,在點E,F運動的過程中,CP的最小值爲_____.
【回答】
2﹣2
【分析】
根據正方形的*質得到AD=CD=BC=4,∠ADC=∠BCD=90°,求得CE=DF,根據全等三角形的*質得到∠DAF=∠CDE,推出∠APD=90°,得到點P在以AD爲直徑的圓上,設AD的中點爲G,由圖形可知:當C、P、G在同一直線上時,CP有最小值,如圖所示:根據勾股定理即可得到結論.
【詳解】
解:在正方形ABCD中,AD=CD=BC=4,∠ADC=∠BCD=90°,
∵CE+CF=4,CF+DF=4,
∴CE=DF,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴∠DAF=∠CDE,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠DAP+∠FDP=90°,
∴∠APD=90°,
∴點P在以AD爲直徑的圓上,
設AD的中點爲G,
由圖形可知:當C、P、G在同一直線上時,CP有最小值,如圖所示:
∵CD=4,DG=2,
∴CG==2
∴CP=CG﹣PG=2﹣2,
故*爲:2﹣2.
【點睛】
本題考查了點與圓的位置關係,全等三角形的判定和*質,正方形的*質,圓周角定理,確定出CG最小時點G的位置是解題關鍵,也是本題的難點.
知識點:三角形全等的判定
題型:填空題