問題詳情：
圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
（1）*：不論m取什麼數，直線l與圓C恆交於兩點；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，並求此時m的值．
【回答】
解：(1)* ∵直線l的方程可化爲(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l過
的交點M(3,1)．即l恆過定點M(3,1)，
又∵M到圓心C(1,2)的距離
d＝
＝
＜5，∴點M(3,1)在圓內，
∴過點M(3,1)的直線l與圓C恆交於兩點．
(2) ∵過點M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤
，弦心距、半弦長和半徑r滿足勾股定理，
∴當d2＝5時，半弦長的平方的最小值爲25－5＝20.
∴弦長AB的最小值|AB|min＝4
.
此時，kCM＝－，kl＝－
.
∵l⊥CM，∴·
＝－1，解得m＝－.
∴當m＝－時，取到最短弦長爲4
.
知識點：圓與方程
題型：解答題
