問題詳情:
已知中心在原點的雙曲線C的右焦點爲(2,0),左頂點爲.
(1)求雙曲線C的方程
(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交於不同的兩點M、N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,﹣1),求實數m的取值範圍.
【回答】
【考點】雙曲線的應用;雙曲線的標準方程;直線與圓錐曲線的綜合問題.
【專題】計算題.
【分析】(1)設雙曲線的標準方程,依題意可知a和c,進而根據a2+b2=c2求得b,則雙曲線方程可得.
(2)把直線方程與雙曲線方程聯立,消去y,利用判別式大於0求得m和k的不等式關係,設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點爲B(x0,y0).根據韋達定理表示出x0和y0,根據AB⊥MN,可知AB的斜率爲﹣,進而求得k和m的關係,最後綜合可求得m的範圍.
【解答】解:(I)設雙曲線方程爲
由已知得
故雙曲線C的方程爲.
(II)聯立
整理得(1﹣3k2)x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0.
∵直線與雙曲線有兩個不同的交點,
∴
可得m2>3k2﹣1.①
設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點爲B(x0,y0).
整理得3k2=4m+1.②
將②代入①,得m2﹣4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>﹣.
∴m的取值範圍是(﹣,0)∪(4,+∞).
【點評】本題主要考查了雙曲線的應用.考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題