問題詳情:
如圖,將一個等腰Rt△ABC對摺,使∠A與∠B重合,展開後得摺痕CD,再將∠A摺疊,使C落在AB上的點F處,展開後,摺痕AE交CD於點P,連接PF、EF,下列結論:①tan∠CAE=﹣1;②圖*有4對全等三角形;③若將△PEF沿PF翻折,則點E一定落在AB上;④PC=EC;⑤S四邊形DFEP=S△APF.正確的個數是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【回答】
D:全等三角形的判定與*質;PB:翻折變換(摺疊問題).
【分析】①正確.作EM∥AB交AC於M.設CM=CE=a,則ME=AM=a,根據tan∠CAE=即可判斷.
②正確.根據△CDA≌△CDB,△AEC≌△AEF,△APC≌△APF,△PEC≌△PEF即可判斷.
③正確.由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°,由此即可判斷.
④正確.只要*∠CPE=∠CEP=67.5°,
⑤錯誤.假設結論成立,推出矛盾即可.
【解答】解:①正確.作EM∥AB交AC於M.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠CAE=∠BAE=∠CAB=22.5°,
∴∠MEA=∠EAB=22.5°,
∴∠CME=45°=∠CEM,設CM=CE=a,則ME=AM=a,
∴tan∠CAE===﹣1,故①正確,
②正確.△CDA≌△CDB,△AEC≌△AEF,△APC≌△APF,△PEC≌△PEF,故②正確,
③正確.∵△PEC≌△PEF,
∴∠PCE=∠PFE=45°,
∵∠EFA=∠ACE=90°,
∴∠PFA=∠PFE=45°,
∴若將△PEF沿PF翻折,則點E一定落在AB上,故③正確.
④正確.∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°,∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°,
∴∠CPE=∠CEP,
∴CP=CE,故④正確,
⑤錯誤.∵△APC≌△APF,
∴S△APC=S△APF,
假設S△APF=S四邊形DFPE,則S△APC=S四邊形DFPE,
∴S△ACD=S△AEF,
∵S△ACD=S△ABC,S△AEF=S△AEC≠S△ABC,
∴矛盾,假設不成立.
故⑤錯誤.
知識點:三角形全等的判定
題型:選擇題