問題詳情：
如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在稜AA1上，BE⊥EC1.
（1）*：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【回答】
（1）*見解析；（2）
【分析】
（1）利用長方體的*質，可以知道
側面
，利用線面垂直的*質可以*出
，這樣可以利用線面垂直的判定定理，*出
平面
；
（2）以點
座標原點，以
分別為
軸，建立空間直角座標系，設正方形
的邊長為
，
，求出相應點的座標，利用
，可以求出
之間的關係，分別求出平面
、平面
的法向量，利用空間向量的數量積公式求出二面角
的餘弦值的絕對值，最後利用同角的三角函數關係，求出二面角
的正弦值.
【詳解】
*（1）因為
是長方體，所以
側面
，而
平面
，所以
又
，
，
平面
，因此
平面
；
（2）以點
座標原點，以
分別為
軸，建立如下圖所示的空間直角座標系，
，
因為
，所以
，
所以
，
，
設
是平面
的法向量，
所以
，
設
是平面
的法向量，
所以
，
二面角
的餘弦值的絕對值為
，
所以二面角
的正弦值為
.
【點睛】
本題考查了利用線面垂直的*質定理*線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的餘弦值，以及同角的三角函數關係，考查了數學運算能力.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
