問題詳情:
試題*
練習冊*
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分析:(1)寫出平移後的拋物線的頂點座標,然後利用頂點式解析式寫出即可;(2)根據拋物線解析式求出點A、B的座標,然後求出∠OBA=45°,再聯立兩拋物線解析式求出交點C的座標,再根據∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解;(3)先求出直線OC的解析式為y=
x,設與OC平行的直線y=
x+b,與拋物線y2聯立消掉y得到關於x的一元二次方程,再根據與OC的距離最大時方程有且只有一個根,然後利用根的判別式△=0列式求出b的值,從而得到直線的解析式,再求出與x軸的交點E的座標,得到OE的長度,再過點C作CD⊥x軸於D,然後根據∠COD的正弦值求解即可得到h的值.
解答:解:(1)拋物線y1=x2-1向右平移4個單位的頂點座標為(4,-1),所以,拋物線y2的解析式為y2=(x-4)2-1;(2)x=0時,y=-1,y=0時,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,點A(1,0),B(0,-1),∴∠OBA=45°,聯立
,解得
,∴點C的座標為(2,3),∵∠CPA=∠OBA,∴點P在點A的左邊時,座標為(-1,0),在點A的右邊時,座標為(5,0),所以,點P的座標為(-1,0)或(5,0);(3)存在.∵點C(2,3),∴直線OC的解析式為y=
x,設與OC平行的直線y=
x+b,聯立
,消掉y得,2x2-19x+30-2b=0,當△=0,方程有兩個相等的實數根時,△QOC中OC邊上的高h有最大值,此時x1=x2=
×(-
)=
,
此時y=(
-4)2-1=-
,∴存在第四象限的點Q(
,-
),使得△QOC中OC邊上的高h有最大值,此時△=192-4×2×(30-2b)=0,解得b=-
,∴過點Q與OC平行的直線解析式為y=
x-
,令y=0,則
x-
=0,解得x=
,設直線與x軸的交點為E,則E(
,0),過點C作CD⊥x軸於D,根據勾股定理,OC=
=
,則sin∠COD=
=
,解得h最大=
×
=
.
點評:本題是二次函數綜合題型,主要考查了利用平移變換確定二次函數解析式,聯立兩函數解析式求交點座標,等腰三角形的判定與*質,(3)判斷出與OC平行的直線與拋物線只有一個交點時OC邊上的高h最大是解題的關鍵,也是本題的難點.
【回答】
分析:(1)寫出平移後的拋物線的頂點座標,然後利用頂點式解析式寫出即可;(2)根據拋物線解析式求出點A、B的座標,然後求出∠OBA=45°,再聯立兩拋物線解析式求出交點C的座標,再根據∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解;(3)先求出直線OC的解析式為y=
x,設與OC平行的直線y=
x+b,與拋物線y2聯立消掉y得到關於x的一元二次方程,再根據與OC的距離最大時方程有且只有一個根,然後利用根的判別式△=0列式求出b的值,從而得到直線的解析式,再求出與x軸的交點E的座標,得到OE的長度,再過點C作CD⊥x軸於D,然後根據∠COD的正弦值求解即可得到h的值.
解答:解:(1)拋物線y1=x2-1向右平移4個單位的頂點座標為(4,-1),所以,拋物線y2的解析式為y2=(x-4)2-1;(2)x=0時,y=-1,y=0時,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,點A(1,0),B(0,-1),∴∠OBA=45°,聯立
,解得
,∴點C的座標為(2,3),∵∠CPA=∠OBA,∴點P在點A的左邊時,座標為(-1,0),在點A的右邊時,座標為(5,0),所以,點P的座標為(-1,0)或(5,0);(3)存在.∵點C(2,3),∴直線OC的解析式為y=
x,設與OC平行的直線y=
x+b,聯立
,消掉y得,2x2-19x+30-2b=0,當△=0,方程有兩個相等的實數根時,△QOC中OC邊上的高h有最大值,此時x1=x2=
×(-
)=
,
此時y=(
-4)2-1=-
,∴存在第四象限的點Q(
,-
),使得△QOC中OC邊上的高h有最大值,此時△=192-4×2×(30-2b)=0,解得b=-
,∴過點Q與OC平行的直線解析式為y=
x-
,令y=0,則
x-
=0,解得x=
,設直線與x軸的交點為E,則E(
,0),過點C作CD⊥x軸於D,根據勾股定理,OC=
=
,則sin∠COD=
=
,解得h最大=
×
=
.
點評:本題是二次函數綜合題型,主要考查了利用平移變換確定二次函數解析式,聯立兩函數解析式求交點座標,等腰三角形的判定與*質,(3)判斷出與OC平行的直線與拋物線只有一個交點時OC邊上的高h最大是解題的關鍵,也是本題的難點.
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