問題詳情:
如圖,在正方形ABCD中,邊長為4,∠MDN=90°,將∠MDN繞點D旋轉,其中DM邊分別與*線BA、直線AC交於E、Q兩點,DN邊與*線BC交於點F;連接EF,且EF與直線AC交於點P.
(1)如圖1,點E在線段AB上時,①求*:AE=CF;②求*:DP垂直平分EF;
(2)當AE=1時,求PQ的長.
【回答】
【分析】(1)①只要*△ADE≌△CDE(ASA)即可解決問題;
②利用相似三角形的*質*∠PDQ=45°即可解決問題;
(2)①當點E在線段AB上時,作QH⊥AD於H,QG⊥AB於G.由△AQD∽△EQP,可知AQ•PQ=DQ•EQ,想辦法求出AQ,EQ,DQ即可解決問題;②當點E在BA的延長線上時,作QH⊥AD於H,QG⊥AB於G,方法類似.
【解答】(1)①*:∵四邊形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°,
∴∠ADC=∠MDN=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDE(ASA),
∴AE=CF.
②∵△ADE≌△CDE(ASA),
∴DE=DF,∵∠MDN=90°,
∴∠DEF=45°,
∵∠DAC=45°,
∴∠DAQ=∠PEQ,∵∠AQD=∠EQP,
∴△AQD∽△EQP,
∴=,
∴=,∵∠AQE=∠PQD,
∴△AQE∽△DQP,
∴∠QDP=∠QAE=45°,
∴∠DPE=90°,
∴DP⊥EF,∵DE=DF,
∴PE=PF,
∴DP垂直平分線段EF.
(2)解:①當點E在線段AB上時,作QH⊥AD於H,QG⊥AB於G.
在Rt△ADE中,DE==,
∵∠QAH=∠QAG=45°,
∴HO=QE=AH=EQ,設QH=x,
∵×4×x+×1×x=×1×4,
∵x=,
∴AQ=,DQ==,EQ=,
∵△AQD∽△EQP,
∴AQ•PQ=DQ•EQ,
∴PQ==.
②當點E在BA的延長線上時,作QH⊥AD於H,QG⊥AB於G.
在Rt△ADE中,DE==,
∵∠QAH=∠QAG=45°,
∴HO=QE=AH=EQ,設QH=x,
∵×4×x﹣×1×x=×1×4,
∵x=,
∴AQ=,DQ==,EQ=,
∵△AQD∽△EQP,
∴AQ•PQ=DQ•EQ,
∴PQ==.
綜上所述,PQ的長為或.
【點評】本題考查正方形的*質,全等三角形的判定和*質,相似三角形的判定和*質,勾股定理等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形和相似三角形解決問題,屬於中考常考題型.
知識點:相似三角形
題型:解答題