問題詳情:
如圖正方形ABCD中,E為AD邊上的中點,過A作AF⊥BE,交CD邊於F,M是AD邊上一點,且有BM=DM+CD.
(1)求*:點F是CD邊的中點;
(2)求*:∠MBC=2∠ABE.
【回答】
(1)*見試題解析;(2)*見試題解析.
【解析】
試題分析:(1)由正方形得到AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,根據AF⊥BE,求出∠AEB=∠AFD,推出△BAE≌△ADF,即可*出點F是CD邊的中點;
(2)延長AD到G使BM=MG,得到DG=BC=DC,*△FDG≌△FCB,求出B,F,G共線,再*△ABE≌△CBF,得到∠ABE=∠CBF,根據三角形的外角*質即可求出結論.
試題解析:(1)∵正方形ABCD,∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,
∵AF⊥BE,∴∠AOE=90°,∴∠EAF+∠AEB=90°,∠EAF+∠BAF=90°,∴∠AEB=∠BAF,
∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD,
∵∠BAD=∠D,AB=AD,∴△BAE≌△ADF,∴AE=DF,
∵E為AD邊上的中點,∴點F是CD邊的中點;
(2)延長AD到G.使MG=MB.連接FG,FB,
∵BM=DM+CD,∴DG=DC=BC,
∵∠GDF=∠C=90°,DF=CF,∴△FDG≌△FCB(SAS),∴∠DFG=∠CFB,∴B,F,G共線,
∵E為AD邊上的中點,點F是CD邊的中點,AD=CD,∴AE=CF,
∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°,AE=CF,∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF,
∵AG∥BC,∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,
∴∠MBC=2∠ABE.
考點:1.正方形的*質;2.三角形的外角*質;3.全等三角形的判定與*質.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題