問題詳情:
在平面直角座標系中,拋物線y=x2-2x+c(c為常數)的對稱軸為x=1. (Ⅰ)當c=-3時,點(x1,y1)在拋物線y=x2-2x+c上,求y1的最小值; (Ⅱ)若拋物線與x軸有兩個交點,點A在點B左側,且OA=OB,求拋物線的解析式; (Ⅲ)當-1<x<0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點,求c的取值範圍.
【回答】
解:(Ⅰ)當c=-3時,拋物線為y=x2-2x-3, ∴拋物線開口向上,有最小值, ∴y最小值===-4, ∴y1的最小值為-4; (Ⅱ)拋物線與x軸有兩個交點, ①當點A、B都在原點的右側時,如解圖①, 設A(m,0),∵OA=OB, ∴B(2m,0), ∵二次函數y=x2-2x+c的對稱軸為x=1, 由拋物線的對稱*得1-m=2m-1,解得m=, ∴A(,0), ∵點A在拋物線y=x2-2x+c上, ∴0=-+c,解得c=, 此時拋物線的解析式為y=x2-2x+; ②當點A在原點的左側,點B在原點的右側時,如解圖②, 設A(-n,0),∵OA=OB,且點A、B在原點的兩側, ∴B(2n,0), 由拋物線的對稱*得n+1=2n-1, 解得n=2,∴A(-2,0), ∵點A在拋物線y=x2-2x+c上, ∴0=4+4+c,解得c=-8, 此時拋物線的解析式為y=x2-2x-8, 綜上,拋物線的解析式為y=x2-2x+或y=x2-2x-8; (Ⅲ)∵拋物線y=x2-2x+c與x軸有公共點, ∴對於方程x2-2x+c=0,判別式b2-4ac=4-4c≥0, ∴c≤1. 當x=-1時,y=3+c;當x=0時,y=c, ∵拋物線的對稱軸為x=1,且當-1<x<0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點, ∴3+c>0且c<0,解得-3<c<0, 綜上,當-1<x<0時,拋物線與x軸有且只有一個公共點時,c的取值範圍為-3<c<0.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題