問題詳情:
已知雙曲線=1(a>0,b>0)的上、下焦點分別為F2,F1,過F1且傾斜角為鋭角的直線1與圓x2+y2=a2相切,與雙曲線的上支交於點M.若線段MF1的垂直平分線過點F2,則該雙曲線的漸近線的方程為( )
A. B. C. D.
【回答】
B 【解析】
解:設MF1與圓相切於點E, 因為|MF2|=|F1F2|=2c,所以△MF1F2為等腰三角形, N為MF1的中點, 所以|F1E|=|MF1|, 又因為在直角△F1EO中,|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2, 所以|F1E|=b=|MF1|① 又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②, c2=a2+b2 ③ 由①②③可得c2-a2=()2, 即為4(c-a)=c+a,即3c=5a, b===a, 則雙曲線的漸近線方程為y=±x, 即為y=±x. 故選:B. 先設MF1與圓相切於點E,利用|MF2|=|F1F2|,及直線MF1與圓x2+y2=a2相切,可得幾何量之間的關係,從而可求雙曲線的漸近線方程. 本題考查直線與圓相切,考查雙曲線的定義,考查雙曲線的幾何*質,注意運用平面幾何的*質,考查運算能力,屬於中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:選擇題