問題詳情：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示．
（1）如圖①，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．求*：a2＝b（b+c）
（2）如圖②，在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且c＝7，b＝8，求a的長．
（3）若一個三角形的一個內角等於另一個內角的2倍，我們則稱這樣的三角形為“倍角三角形”．問題（1）中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那麼對於任意的倍角△ABC，如圖③，∠A＝2∠B，關係式a2＝b（b+c）是否仍然成立？並*你的結論．
【回答】
【解析】（1）*：∵∠A＝2∠B＝60°，
∴∠B＝30°，
則∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ACB為直角三角形，
在Rt△ACB中a＝
c，b＝
c，
所以a2＝（
c）2＝
，b（b+c）＝
c（
c+c）＝
，
所以a2＝b（b+c）；
（2）如圖1，延長CA至點D，使AD＝AB，連接BD，
則∠D＝∠ABD＝
∠CAB＝∠C，
∴△CBD∽△DAB，
∴
，
∴BD2＝AB•CD＝7×（8+7）＝105，
∴BD＝
，
又∠C＝∠D，
∴a＝BC＝BD＝
（3）對於任意的倍角△ABC，∠A＝2∠B，關係式a2＝b（b+c）仍然成立，
如圖2，延長BA至D，使AD＝AC＝b，連結CD，
則∠CAB＝2∠D，
∴∠B＝∠D，BC＝CD＝a，
∴△ADC∽△CDB
∴
，
即
．
所以a2＝b（b+c）．
知識點：勾股定理
題型：解答題
