問題詳情：
如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為稜AB的中點，AB=2，AD=
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求*：AD⊥BC；
（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的餘弦值；
（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．
【回答】
(Ⅰ)*見解析；(Ⅱ)
；(Ⅲ)
．
【解析】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的*質定理可得AD⊥平面ABC，則AD⊥BC．
（Ⅱ）取稜AC的中點N，連接MN，ND．由幾何關係可知∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．計算可得
．則異面直線BC與MD所成角的餘弦值為
．
（Ⅲ）連接CM．由題意可知CM⊥平面ABD．則∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．計算可得
．即直線CD與平面ABD所成角的正弦值為
．
詳解：（Ⅰ）*：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取稜AC的中點N，連接MN，ND．又因為M為稜AB的中點，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=
．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=
．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得
．
所以，異面直線BC與MD所成角的餘弦值為
．
（Ⅲ）連接CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=
．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM
平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD=
=4．
在Rt△CMD中，
．
所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為
．
點睛：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎知識．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論*能力．
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
