问题详情:
如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在一点P,使S△PAC=S△AOB?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.
【回答】
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由待定系数法即可得到结论;
(2)根据图象中的信息即可得到结论;
(3)过A作AM⊥x轴,过B作BN⊥x轴,由(1)知,b=5,k=4,得到直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:列方程,求得B(4,1),于是得到,由已知条件得到,过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
【解答】解:(1)将A(1,4)分别代入y=﹣x+b和
得:4=﹣1+b,4=,解得:b=5,k=4;
(2)一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为:x>4或0<x<1,
(3)过A作AM⊥x轴,过B作BN⊥x轴,
由(1)知,b=5,k=4,
∴直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:
由,解得:x=4,或x=1,
∴B(4,1),
∴,
∵,
∴,
过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),
∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP(CD+AE)=|t|=3,
解得:t=3,t=﹣3,
∴P(0,3)或P(0,﹣3).
知识点:反比例函数
题型:解答题