问题详情:
如图,在矩形中,,点D是边的中点,反比例函数的图象经过点D,交边于点E,直线的解析式为.
(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式;
(2)在y轴上找一点P,使的周长最小,求出此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,的周长最小值是______.
【回答】
(1),;(2)点P坐标为;(3).
【解析】
(1)首先求出D点坐标,然后将D点坐标代入反比例解析式,求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值,即得到E点的坐标,然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中,即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点,连接,交y轴于点P,连接.此时的周长最小.然后求出直线的解析式,求直线与y轴的交点坐标,即可得出P点的坐标;
(3)的周长的最小值为DE+,分别利用勾股定理两条线段的长,即可求.
【详解】
解:(1)∵D为的中点,,
∴.
∵四边形是矩形,,
∴D点坐标为.
∵在的图象上,
∴.∴反比例函数解析式为.
当时,.
∴E点坐标为.
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为.
∴反比例函数解析式为,
直线的解析式为.
(2)作点D关于y轴的对称点,连接,交y轴于点P,连接.
此时的周长最小.∵点D的坐标为,
∴点的坐标为.
设直线的解析式为.
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为.
令,得.
∴点P坐标为.
(3)由(1)(2)知D(1,4),E(2,2),(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得DE==.
在Rt△BE中,由勾股定理,得E==.
的周长的最小值为+DE =.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,矩形的*质,待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,轴对称的最短路径问题等,难度适中,正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
知识点:反比例函数
题型:解答题