问题详情:
某房地产商建有三栋楼宇,三楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇,规划要求楼宇对楼宇,的视角为,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值;
(2)当楼宇与楼宇,间距离相等时,拟在楼宇,间建休息亭,在休息亭和楼宇,间分别铺设鹅卵石路和防腐木路,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为,(单位:元千米,为常数).记,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.
【回答】
(1)围成的四边形区域 的面积的最大值 平方千米;(2)总费用的最小值元.
【解析】
(1)由楼宇对楼宇,的视角为得楼宇D在一段圆弧上,则相等时,可得最大,固定,计算此时四边形的面积即可.
(2)用表示出,,从而表示出铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费:,再利用导数判断的单调*,从而求得它的最小值,问题得解.
【详解】
(1)当且仅当:时,取得等号,所以的最大值为
又因为四边形的面积
所以四边形的面积的最大值为.
答:四栋楼宇围成的四边形区域的面积的最大值平方千米.
(2)当楼宇与楼宇间距离相等时
由(1)得:
则,又因为,所以,因为等边三角形
所以,所以
在中,,所以
,则
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用
令
因为,所以
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
所以当时,
即:的最小值为
答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元.
【点睛】
本题主要考查了圆的*质,三角形面积计算,还考查了函数思想及转化思想,计算能力及利用导数求函数的最值,考查了实际问题建模,属于难题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题