问题详情:
发现与探索.
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解
① a2-12a+20;②(a-1)2-8(a-1)+7;③ a2-6ab+5b2
(2)根据小丽的思考解决下列问题:
①说明:代数式a2-12a+20的最小值为-16.
②请仿照小丽的思考解释代数式-(a+1)2+8的最大值为8,并求代数式-a2+12a-8的最大值.
【回答】
(1)①(a-10)(a-2);②(a-7)(a-3);③(a-5b)(a-b);(2)①说明见解析;②﹣a2+12a-8.的最大值为28.
【解析】
分析:(1)①把所给的多项式加上36后再减去36,类比小明的解法,前三项利用完全平方公式因式分解后,再利用平方差公式因式分解即可;②把所给的多项式加上16后再减去16,类比小明的解法,前三项利用完全平方公式因式分解后,再利用平方差公式因式分解即可;③把所给的多项式加上9b2后再减去9b2,类比小明的解法,前三项利用完全平方公式因式分解后,再利用平方差公式因式分解即可;(2)①把所给的多项式化为(a-6)2-16后,根据非负数的*质可得(a-6)2≥0,当x=6时,所给多项式的最小值为-16;②根据非负数的*质可得无论a取何值-(a+1)2都小于等于0,再加上8,即可得代数式-(a+1)2+8小于等于8,所以-(a+1)2+8的最大值为8;把所给的多项式化为﹣(a-6)2+28后,类比上面的解题方法解答即可.
详解:
(1)①a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2)
②(a-1)2-8(a-1)+12
原式=(a-1)2-8(a-1)+16-16+12
=(a-5)2-22
=(a-7)(a-3)
③a2-6ab+5b2
原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b)
(2)根据小明的发现结合小丽的思考解决下列问题.
①说明:代数式a2-12a+20的最小值为﹣16.
a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-16
无论a取何值(a-6)2都大于等于0,再加上﹣16,
则代数式(a-6)2-16大于等于-16,
则a2-12a+20的最小值为-16
②无论a取何值-(a+1)2都小于等于0,再加上8,
则代数式-(a+1)2+8小于等于8,
则-(a+1)2+8的最大值为8
﹣a2+12a-8.
原式=﹣(a2-12a+8)
=﹣(a2-12a+36-36+8)
=﹣(a-6)2+36-8
=﹣(a-6)2+28
无论a取何值﹣(a-6)2都小于等于0,再加上28,
则代数式﹣(a-6)2+28小于等于28,
则﹣a2+12a-8的最大值为28.
点睛:本题属于阅读理解题,考查了因式分解的应用,解题时运用类比思想是解决本题的关键.
知识点:因式分解
题型:解答题