问题详情:
如图,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知OA1=.
(1)求*:B1C1⊥平面OAH;
(2)求二面角O-A1B1-C1;
【回答】
解:解法一:
(1)*:依题设,是的中位线,所以∥,
则∥平面,所以∥。
又是的中点,所以⊥,
则⊥。
因为⊥,⊥,
所以⊥面,则⊥,
因此⊥面。
(2)作⊥于,连。
因为⊥平面,
根据三垂线定理知,⊥,
就是二面角的平面角。
作⊥于,则∥,则是的中点,则。
设,由得,,解得,
在中,,则,。
所以,故二面角为。
解法二:
(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则
所以
所以
所以平面
由∥得∥,故:平面
(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:计算题