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如图,BD为四边形ABCD的对角线,BC=AD,∠A=∠CBD,∠ABD=120°,AB=3,CD=,则BC的长为_____________.
【回答】
7
【解析】如图,过点D作DE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AG⊥DE于点G,则四边形ABFG是矩形,从而有FG=AB=3,AG=BF,通过*△ADE≌△CBD,可得AE=CD=,根据已知易得△BDE是等边三角形,根据等边三角形的*质可得DF=BD,BF=BD,在Rt△AEG中,利用勾股定理可求得BD=5,从而得AG=,DG=,在Rt△ADG中,根据勾股定理求得AD长即可得*.
【详解】如图,过点D作DE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AG⊥DE于点G,则四边形ABFG是矩形,
∴FG=AB=3,AG=BF,
∵AB//DE,∴∠ADE=∠BAD,
∵∠BAD=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBD,
又∵DE=BD,AD=BC,
∴△ADE≌△CBD,
∴AE=CD=,
∵∠ABD=120°,DE//AB,
∴∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴DF=BD,BF=BD,
在Rt△AEG中, AE2=AG2+EG2,EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD,
∴,
∴BD=5或BD=-2(舍去),
∴AG=,DG=DF+FG=+3=,
在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2=()2+()2=49,
∴AD=7,
∴BC=7,
故*为:7.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与*质、等边三角形的判定与*质、勾股定理的应用等,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线灵活应用相关知识是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:填空题