问题详情:
如图,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1, ,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1.
(1)求*:AM⊥平面A1BC;
(2)求二面角B AM C的大小;
(3)求点C到平面ABM的距离.
【回答】
*:(I)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,
∵∠ACB = 90°,
∴BC⊥面ACC1A1,
∵AM面ACC1A1
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA1,且BC∩BA1=B
∴AM⊥平面A1BC
(II)设AM与A1C的交点为O,连结BO,由(I)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,所以∠BOC为二面角B AM C的平分角
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC +∠ACO=90°,
∴∠AA1C =∠MAC
∴Rt△ACM∽Rt△A1AC
∴AC2 = MC・AA1
,故所求二面角的大小为45°
(III)设点C到平面ABM的距离为h,易知BO=,
可得
∴点C到平面ABM的距离为
解法二:(I)同解法一
(II)如图以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则
即
设向量,则
的平面AMB的一个法向量为
是平面AMC的一个法向量
易知,所夹的角等于二面角B AM C的大小,故所求二面角的大小为45°
(III)向量即为所求距离
∴点C到平面ABM的距离为
知识点:空间几何体
题型:计算题