問題詳情:
已知數列{an},如果數列{bn}滿足b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈N*,則稱數列{bn}是數列{an}的“生成數列”.
(1)若數列{an}的通項為an=n,寫出數列{an}的“生成數列”{bn}的通項公式;
(2)若數列{cn}的通項為cn=2n+b(其中b是常數),試問數列{cn}的“生成數列”{qn}是否是等差數列,請說明理由;
(3)已知數列{dn}的通項為dn=2n+n,求數列{dn}的“生成數列”{pn}的前n項和Tn.
【回答】
解:(1)當n≥2時,bn=an+an-1=2n-1,
當n=1時,b1=a1=1適合上式,
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)qn=
當b=0時,qn=4n-2,由於qn+1-qn=4,
所以此時數列{cn}的“生成數列”{qn}是等差數列.
當b≠0時,由於q1=c1=2+b,q2=6+2b,
q3=10+2b,此時q2-q1≠q3-q2,
所以此時數列{cn}的“生成數列”{qn}不是等差數列.
(3)pn=
當n>1時,Tn=3+(3·2+3)+(3·22+5)+…+(3·2n-1+2n-1),
∴Tn=3+3(2+22+23+…+2n-1)+(3+5+7+…+2n-1)=3·2n+n2-4.
又n=1時,T1=3,適合上式,∴Tn=3·2n+n2-4.
知識點:數列
題型:解答題