問題詳情:
閱讀下面材料:
小敏根據銳角三角函式及三角形有關的學習經驗,先畫出一個含
銳角α的直角三角形:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α.她通
過*思考及與同學進行交流、討論後,形成了構造2α角的幾種方法:
方法1:如圖1,作線段AB的垂直平分線交BC於點D,連結AD.
方法2:如圖2,以直線BC為對稱軸,作出△ABC的軸對稱圖形△A,BC.
圖1 圖2 圖3
請你參考上面的想法,根據勾股定理及三角函式等知識幫助小敏求tan2α的值.(一種方法即可)
【回答】
解:方法1:
∵線段AB的垂直平分線BC交於點D,
AD=BD, ……… …………1分
∴∠1=∠B
∵∠B=α ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分
在Rt△ABC中,∠C=90°,tanα= ∴
設……………………………4分
在Rt△ADC中,∠C=90°,由勾股定理得,…… ……………5分
解得:……… ………………6分
∴……… ………………7分
方法2:過A作AD⊥A'B於點D. …………………………………………1分
∵△ABC、△A'BC關於BC對稱,
∴∠1=∠ABC =α
∴∠A'BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分
在Rt△ABC中,∠C=90°,tanα=∴
設…………………………3分
∵
∴………………………………………………………4分
∴……………………………………………………………5分
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴………………………………………………………………6分
∴………………………………………………7分
方法3:延長C'A交BC的延長線於點D. ………………………………………1分
∵△ABC、△ABC’關於直線AB對稱,
∴∠1=∠ABC = α,BC'= BC
∴∠C'BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分
∵tanα=∴設AC = k,則BC = 2k,
BC'= 2k……………………………………………………………………3分
設CD = x
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,
∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分
∴ ∴
∴C'D = 2 x ∴AD =2x -k
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
由勾股定理得, ……… ………5分
………… ……………6分
∴…… ………7分
知識點:畫軸對稱圖形
題型:解答題