問題詳情:
如圖,拋物線L1:y=﹣x2+bx+c經過點A(1,0)和點B(5,0)已知直線l的解析式為y=kx﹣5.
(1)求拋物線L1的解析式、對稱軸和頂點座標.
(2)若直線l將線段AB分成1:3兩部分,求k的值;
(3)當k=2時,直線與拋物線交於M、N兩點,點P是拋物線位於直線上方的一點,當△PMN面積最大時,求P點座標,並求面積的最大值.
(4)將拋物線L1在x軸上方的部分沿x軸摺疊到x軸下方,將這部分圖象與原拋物線剩餘的部分組成的新圖象記為L2
①直接寫出y隨x的增大而增大時x的取值範圍;
②直接寫出直線l與圖象L2有四個交點時k的取值範圍.
【回答】
(1)解析式為y=﹣x2+6x﹣5,對稱軸:直線x=3,頂點座標(3,4);(2)k=或k=;(3)當x=2時,SPMN最大,最大值為8,此時P(2,3);(4)①當x≤1或3≤x≤5時y隨x的增大而增大;②當<k<1時,直線l與圖象L2有四個交點.
【解析】
(1)根據待定係數法,可得函式解析式;(2)根據線段的比,可得直線與x軸的交點,根據自變數與函式值的對應關係,可得*;(3)根據平行於y軸直線上兩點間的距離是較大的縱座標減較小的縱座標,可得PH,根據三角形的面積,可得二次函式,根據二次函式的*質,可得*;(4)①根據函式圖象的增減趨勢,可得*;②根據函式圖象的交點,可得直線經過D,B點,根據自變數與函式值的對應關係,可得相應的k值,可得*.
【詳解】
(1)∵拋物線L1:y=﹣x2+bx+c經過點A(1,0)和點B(5,0)
∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4,
∴拋物線L1的解析式為y=﹣x2+6x﹣5
對稱軸:直線x=3
頂點座標(3,4);
(2)∵直線l將線段AB分成1:3兩部分,則l經過點(2,0)或(4,0),
∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5
∴k=或k=.
(3)如圖1
,
設P(x,﹣x2+6x﹣5)是拋物線位於直線上方的一點,
解方程組,解得
或
不妨設M(0,﹣5)、N(4,3)
∴0<x<4
過P做PH⊥x軸交直線l於點H,
則H(x,2x﹣5),
PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x,
S△PMN=PH•xN
=(﹣x2+4x)×4
=﹣2(x﹣2)2+8
∵0<x<4
∴當x=2時,SPMN最大,最大值為8,此時P(2,3)
(4)如圖2
,
A(1,0),B(5,0).由翻折,得D(3,﹣4),
①當x≤1或3≤x≤5時y隨x的增大而增大
②當y=kx﹣5過B點時,5k﹣5=0,解得k=1,
當y=kx﹣5與y=x2-6x+5相切時, ,解得 ,
直線與拋物線的交點在BD之間時有四個交點,即<k<1,
當<k<1,直線l與圖象L2有四個交點.
【點睛】
本題考查了二次函式綜合題,解題的關鍵是掌握待定係數法求解析式;利用線段的比例得出直線與x軸的交點;利用二次函式的*質解決問題.
知識點:二次函式單元測試
題型:解答題