問題詳情：
問題探究
（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別是邊BC、CD上兩點，且BM=CN，連線AM和BN，交於點P．猜想AM與BN的位置關係，並*你的結論．
（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．
點M和N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CD方向向終點C和D運動．連線AM和BN，交於點P，求△APB周長的最大值；
問題解決
（3）如圖③，AC為邊長為2
的菱形ABCD的對角線，∠ABC=60°．點M和N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CA向終點C和A運動．連線AM和BN，交於點P．求△APB周長的最大值．
【回答】
【解答】解：（1）結論：AM⊥BN．
理由：如圖①中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠ABN+∠BAM=90°，
∴∠APB=90°，
∴AM⊥BN．
（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA於E，作EG⊥PB於G，連線EP．
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，
∴四邊形EFPG是矩形，
∴∠FEG=∠AEB=90°，
∴∠AEF=∠BEG，
∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF=EG，AF=BG，
∴四邊形EFPG是正方形，
∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值=AE=2
，
∴△APB周長的最大值=4+4
．
（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連線PK，取PH=PB．
∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠A
PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，
∴∠APB=120°，
∵∠AKB=60°，
∴∠AKB+∠APB=180°，
∴A、K、B、P四點共圓，
∴∠BPH=∠KAB=60°，
∵PH=PB，
∴△PBH是等邊三角形，
∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK的值最大時，△APB的周長最大，
∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，
∴△PAB的周長最大值=2
+4．
知識點：特殊的平行四邊形
題型：綜合題
