問題詳情:
已知函式f(x)=﹣4cos2x+4asinxcosx+2,若f(x)的圖象關於點(,0)對稱.
(1)求實數a,並求出f(x)的單調減區間;
(2)求f(x)的最小正週期,並求f(x)在[﹣,]上的值域.
【回答】
【解答】解:(1)∵函式f(x)=﹣4cos2x+4asinxcosx+2=2asin2x﹣2cos2x,
∵f(x)的圖象關於點(,0)對稱.
∴a﹣=0,
解得:a=1,
∴函式f(x)=2sin2x﹣2cos2x=4sin(2x﹣),
由2x﹣∈[+2kπ,+2kπ],k∈Z得:
x∈[+kπ,+kπ],k∈Z,
故f(x)的單調減區間為[+kπ,+kπ],k∈Z;
(2)由(1)中函式解析式可得ω=2,
故T=π,
當x∈[﹣,]時,2x﹣∈[﹣,],
當2x﹣=﹣,即x=﹣時,函式取最小值﹣4,
當2x﹣=,即x=時,函式取最大值2,
故f(x)在[﹣,]上的值域為[﹣4,2].
知識點:三角恆等變換
題型:解答題