問題詳情:
已知數列的前項和滿足,數列滿足.
Ⅰ求數列和數列的通項公式;
Ⅱ令,若對於一切的正整數恆成立,求實數的取值範圍;
Ⅲ數列中是否存在,且 使,,成等差數列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
Ⅰ,;Ⅱ或;Ⅲ 不存在,理由見解析.
【分析】
Ⅰ利用已知條件通過,說明數列是首項為1,公比為2的等比數列,從而可求出的通項公式,然後求解的通項公式;Ⅱ求出,判斷數列的單調*,結合對於一切的正整數恆成立,得到求解即可;Ⅲ假設存在,使,,成等差數列,推出說明是與條件矛盾,得到結論.
【詳解】
Ⅰ根據題意,數列滿足,
當時,.當時,,,
即.
所以數列是首項為1,公比為2的等比數列
所以,;
又由已知,得
Ⅱ依題意得,.
因為,
所以當時,取得最大值
因為對於一切的正整數n恆成立,
所以
解得或,
所以實數x的取值範圍是或;
Ⅲ假設存在,使,,成等差數列,
則,即
兩邊同時除以,得
因為為偶數,為奇數,這與矛盾.
所以不存在,使,,成等差數列
【點睛】
本題主要考查數列的應用,通項公式以及數列的單調*,反*法的應用,屬於難題.反*法的適用範圍:(1)否定*命題與存在*命題;(2)結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題;(3)命題成立非常明顯,直接*所用的理論較少,且不容易*,而其逆否命題非常容易*;(4)要討論的情況很複雜,而反面情況較少.
知識點:數列
題型:解答題