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（2013·*西城一模，24题）（20分）如图1所示，M、N为竖直放置的平行金属板，两板间所加电压为U0，S1、S2为板上正对的小孔。金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔S1、S2所在直线对称，两板的长度和两板间的距离均为l；距金属板P和Q右边缘l处有一荧光屏，荧光屏垂直于金属板P和Q；取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴。M板左侧电子*发*出的电子经小孔S1进入M、N两板间。电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。不计电子重力和电子之间的相互作用。
（1）求电子到达小孔S2时的速度大小v；
（2）若板P、Q间只存在垂直于纸面向外的匀强磁场，电子刚好经过P板的右边缘后，打在荧光屏上。求磁场的磁感应强度大小B和电子打在荧光屏上的位置坐标x；
（3）若金属板P和Q间只存在电场，P、Q两板间电压u随时间t的变化关系如图2所示，单位时间内从小孔S1进入的电子个数为N。电子打在荧光屏上形成一条亮线。忽略电场变化产生的磁场；可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定。
a. 试分析在一个周期（即2t0时间）内单位长度亮线上的电子个数是否相同。
b. 若在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同，求2t0时间内打到单位长度亮线上的电子个数n；若不相同，试通过计算说明电子在荧光屏上的分布规律。
【回答】
【*】见解析
【解析】（1）根据动能定理
【3分】
解得： ① 【3分】
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆运动半径为 R，
在磁场中运动轨迹如图，由几何关系
解得： 【2分】
根据牛顿第二定律： 【1分】
解得： 【1分】
设圆弧所对圆心为α，满足：
由此可知：
电子离开磁场后做匀速运动，满足几何关系： 【1分】
通过上式解得坐标 【1分】
（3）
a. 设电子在偏转电场PQ中的运动时间为t1，PQ间的电压为u
垂直电场方向： ②
平行电场方向： ③
此过程中电子的加速度大小 ④
①、②、③、④联立得： 【1分】
电子出偏转电场时，在x方向的速度
⑤
电子在偏转电场外做匀速直线运动，设经时
间t2到达荧光屏。则
水平方向： ⑥
竖直方向： ⑦
、⑤、⑥、⑦ 联立，解得： 【1分】
电子打在荧光屏上的位置坐标 ⑧ 【1分】
对于有电子穿过P、Q间的时间内进行讨论：
由图2可知，在任意时间内，P、Q间电压变化相等。
由⑧式可知，打在荧光屏上的电子形成的亮线长度。
所以，在任意时间内，亮线长度相等。
由题意可知，在任意时间内，*出的电子个数是相同的。也就是说，在任意时间内，*出的电子都分布在相等的亮线长度范围内。因此，在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同。 【1分】
b. 现讨论2t0时间内，打到单位长度亮线上的电子个数：
当电子在P、Q电场中的侧移量x1=时，
由得：u=2U0 【1分】
当偏转电压在0~±2U0之间时，*入P、Q间的电子可打在荧光屏上。
由图2可知，一个周期内电子能从P、Q电场*出的时间
所以，一个周期内打在荧光屏上的电子数 【1分】
由⑧式，电子打在荧光屏上的最大侧移量
亮线长度L=2xm=3l 【1分】
所以，从0~2t0时间内，单位长度亮线上的电子数
【1分】
知识点：专题六 电场和磁场
题型：综合题
