问题详情:
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
【回答】
(1)
(2)
【解析】
分析:(1)先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据向量数量积求得向量的夹角,再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果;(2)利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量,再根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.
详解:如图,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以为基底,建立空间直角坐标系O−xyz.
因为AB=AA1=2,
所以.
(1)因为P为A1B1的中点,所以,
从而,
故.
因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点,所以,
因此,.
设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,
则即
不妨取,
设直线CC1与平面AQC1所成角为,
则,
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
点睛:本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题