问题详情:
已知定义在(-∞,—1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2, 均有f(x)>0,③对任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) ⑴试求f(2)的值;
⑵*f(x)在(1,+∞)上单调递增;
⑶是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ (0,π)恒成立?若存在,请求出a的范围;若不存在,请说明理由。
【回答】
解:1)令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X1>1,X2>1,X2>X1,则有 从而,
即
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增……………(8分)
3)因为f(x)为奇函数,且在(1,+∞)上单调递增,令X=Y=2,得f(5)=f(3)+f(3)=2,再令X=2,Y=4,得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由因为f(x)为奇函数,所以,于是f(x)<3的解集为;
(-∞,-)∪(1,9),于是问题转化为是否存在实数a,使对任意的θ∈(0,π)恒成立,令sinθ=t,则t∈(0,1]于是恒成立等价于恒成立.即恒成立,当t→0时,,故不存在实数a使对任意的
θ∈(0,π)恒成立.
1<cos2θ+asinθ<9恒成立等价于恒成立,得a>1,
t2-at+8>0,t∈(0,1]等价于,在(0,1]单调递减,于是g(t)min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 对任意的θ∈(0,π)恒成立.
综上知,存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈(0,π)恒成立.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题