问题详情:
【阅读理解】
我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…;第n行n个圆圈中数的和为,即n2,这样,该三角形数阵*有个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n+1 ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)= ,因此,12+22+32+…+n2= .
【解决问题】
根据以上发现,计算:的结果为 1345 .
【回答】
【考点】37:规律型:数字的变化类..
【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出*;
【解决问题】运用以上结论,将原式变形为,化简计算即可得.
【解答】解:【规律探究】
由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1,
由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:
3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)×(1+2+3+…+n)=(2n+1)×,
因此,12+22+32+…+n2=;
故*为:2n+1,,;
【解决问题】
原式==×(2017×2+1)=1345,
故*为:1345.
【点评】本题主要考查数字的变化类,阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律,并运用规律解决实际问题是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题