问题详情:
如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC、CN于D、M两点.
(1)求*:MD=MC;
(2)若⊙O的半径为5,AC=4,求MC的长.
【回答】
【分析】(1)连接OC,利用切线的*质*即可;
(2)根据相似三角形的判定和*质以及勾股定理解答即可.
【解答】解:(1)连接OC,
∵CN为⊙O的切线,
∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴MD=MC;
(2)由题意可知AB=5×2=10,AC=4,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC=,
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴,即,
可得:OD=2.5,
设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
解得:x=,
即MC=.
【点评】本题考查切线的判定和*质、相似三角形的判定和*质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正确寻找相似三角形解决问题.
知识点:各地中考
题型:解答题