问题详情:
如图,将菱形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1、BC1.若∠ACB=30°,AB=2,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s,则下列结论:
①△A1AD1≌△CC1B;
②当四边形ABC1D1是矩形时,x=;
③当x=2时,△BDD1为等腰直角三角形;
④(0<x<)。
其中正确的是 (填序号)。
【回答】
①②③④。
【考点】平移的*质,菱形的*质,全等三角形的判定,矩形的的判定,等腰直角三角形的判定,含30度直角三角形的*质。
【分析】①∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AD,∠ACB =∠DAC。∴∠DAC=∠ACB。
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1。
在△A1AD1与△CC1B中,∵AA1=CC1,∠A1=∠ACB,A1D1=CB,
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。
故①正确。
②如图1,过点B作BH⊥AC于点H,
∵四边形ABC1D1是矩形,∠AC1D1=∠ACD=∠ACB=30°,
∴∠AC1B=60°。
∴∠C1BC=∠C1CB=30°。∴BC1= CC1=x。
∵AB=BC=2,∴BH=1,HC=。
∴HC1=。
∵HC=HC1+ CC1,∴,解得。
故②正确。
③如图2,根据平移的*质,DD1=CC1=2,∠BDD1=90°,
根据菱形的*质和∠ACB=30°,可得DB=AB=2,
∴DD1= DB=2。
∴△BDD1为等腰直角三角形。
故③正确。
知识点:特殊的平行四边形
题型:填空题