问题详情:
如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1、BC1.若∠ACB=30°,AB=1,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s,则下列结论:
①△A1AD1≌△CC1B;
②当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;
③当x=2时,△BDD1为等边三角形;
④s=(x﹣2)2(0<x<2);
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
D【考点】几何变换综合题.
【分析】①根据矩形的*质,得∠DAC=∠ACB,再由平移的*质,可得出∠A1=∠ACB,A1D1=CB,从而*出结论;
②根据菱形的*质,四条边都相等,可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形.
③当x=2时,点C1与点A重合,可求得BD=DD1=BD1=2,从而可判断△BDD1为等边三角形.
④易得△AC1F∽△ACD,根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式.
【解答】解:①∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD,BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,
∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1,
在△A1AD1与△CC1B中,
,
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS),
故①正确;
②∵∠ACB=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AB=1,
∴AC=2,
∵x=1,
∴AC1=1,
∴△AC1B是等边三角形,
∴AB=D1C1,
又AB∥BC1,
∴四边形ABC1D1是菱形,
故②正确;
③如图所示:
则可得BD=DD1=BD1=2,
∴△BDD1为等边三角形,故③正确.
④易得△AC1F∽△ACD,
∴,
解得:S△AC1F=(x﹣2)2 (0<x<2);故④正确;
综上可得正确的是①②③④.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题