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综合与实践
折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中,我们可以通过研究图形的*质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.
实践*作
如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B′D.
解决向题
(1)在图1中,
①B′D和AC的位置关系为 ;
②将△AEC剪下后展开,得到的图形是 ;
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中的一个结论加以*,若不成立,请说明理由;
(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ;
拓展应用
(4)在图2中,若∠B=30°,AB=4,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为
【回答】
【解答】解:(1)①BD′∥AC.②将△AEC剪下后展开,得到的图形是菱形;
故*为BD′∥AC,菱形;
(2)①选择②*如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C,
∴∠ACB′=∠ACB,
∴∠DAC=∠ACB′,
∴AE=CE,
∴△AEC是等腰三角形;
∴将△AEC剪下后展开,得到的图形四边相等,
∴将△AEC剪下后展开,得到的图形四边是菱形.
②选择①*如下,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C,
∵B′C=BC,
∴B′C=AD,
∴B′E=DE,
∴∠CB′D=∠ADB′,
∵∠AEC=∠B′ED,∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC,
∴B′D∥AC.
(3)①当矩形的长宽相等时,满足条件,此时矩形纸片的长宽之比为1:1;∵∠AB′D+∠ADB′=90°,
∴y﹣30°+y=90°,
②当矩形的长宽之比为:1时,满足条件,此时可以*四边形ACDB′是等腰梯形,是轴对称图形;
综上所述,满足条件的矩形纸片的长宽之比为1:1或:1;
(4)∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四边形ACB′D是等腰梯形,
∵∠B=30°,∴∠AB′C=∠CDA=30°,
∵△AB′D是直角三角形,
当∠B′AD=90°,AB>BC时,如图3中,
设∠ADB′=∠CB′D=y,
∴∠AB′D=y﹣30°,
解得y=60°,
∴∠AB′D=y﹣30°=30°,
∵AB′=AB=4,
∴AD=×4=4,
∴BC=4,
当∠ADB′=90°,AB>BC时,如图4,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四边形ACB′D是等腰梯形,
∵∠ADB′=90°,
∴四边形ACB′D是矩形,
∴∠ACB′=90°,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=30°,AB=4,
∴BC=AB=×4=6;
当∠B′AD=90°,AB<BC时,如图5,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,∠B′AD=90°,
∵∠B=30°,AB′=4,
∴∠AB′C=30°,
∴AE=4,BE′=2AE=8,
∴AE=EC=4,
∴CB′=12,
当∠AB′D=90°时,如图6,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四边形ACDB′是等腰梯形,
∵∠AB′D=90°,
∴四边形ACDB′是矩形,
∴∠BAC=90°,
∵∠B=30°,AB=4,
∴BC=AB÷=8;
∴已知当BC的长为4或6或8或12时,△AB′D是直角三角形.
故*为:平行,菱形,1:1或:1,4或6或8或12;
【点评】本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的*质、等腰梯形的判定和*质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,本题综合*比较强,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题