问题详情:
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,E是线段D1O的上一点.
(1)若E为D1O的中点,求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值;
(2)能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O,若能,请指出点E的位置关系,并加以*;若不能,请说明理由.
【回答】
解:不妨设正方体的棱长为2,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),O(1,1,0).
(1)因为点E是D1O的中点,
所以点E的坐标为.
所以,,.
设是平面CDE的法向量,则
即,
取x=2,则z=-1,所以平面CDE的一个法向量为.
所以.
所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为.
(2)假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O,设.
显然,.
设是平面CD1O的方向量,则,即.
取x=1,则y=1,z=1,所以平面CD1O的一个法向量为.
因为,所以点E的坐标为.
所以,.
设是平面CDE的法向量,则即.
取x=1,则,所以平面CDE的一个法向量为.
因为平面CDE⊥平面CD1O,所以,即,,解得λ=2.
所以λ的值为2.即当时,平面CDE⊥平面CD1O.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题