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阅读理解题:
对于任意由0,1组成的一列数.将原有的每个1变成01,并将每个原有的0变成10称为一次变换.如101经过一次变换成为011001.请你经过思考、*作回答下列问题:
(1)将11变换两次后得到 ;
(2)若100101101001是由某数列两次变换后得到.则这个数列是 ;
(3)一个10项的数列经过两次变换后至少有多少对两个连续相等的数对(即1100)?请*你的结论;
(4)01经过10次*作后连续两项都是0的数对个数有 个.
【回答】
【考点】1G:有理数的混合运算.
【分析】(1)根据变换规则解答即可得;
(2)逆用变换规则,反向推理可得*;
(3)由0经过两次变换后得到0110、1经过两次变换后得到1001知10项的数列至少有10对连续相等的数对,根据0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对,得出*;
(4)记数列01为A0,k次变换后数列为Ak,连续两项都是0的数对个数为lk,设Ak中有bk个01数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,可得lk+1=bk,Ak+1中的01数对有2种产生途径:①由Ak中的1得到;②由Ak中的00得,由此得出k为偶数时,lk关于k的函数表达式,将k=10代入即可得.
【解答】解:(1)将11一次変换得0101,再次变换得10011001,
故*为:10011001;
(2)100101101001一次変换的原数是011001,再次变换的原数是101,
故*为:101;
(3)经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对,
∵0经过两次变换后得到0110,1经过两次变换后得到1001,
∴10项的数列至少有10对连续相等的数对,
又∵0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对,
∴一个10项的数列经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对;
(4)记数列01为A0,k次变换后数列为Ak,连续两项都是0的数对个数为lk,
设Ak中有bk个01数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,
∴lk+1=bk,Ak+1中的01数对有2种产生途径:①由Ak中的1得到;②由Ak中的00得到;
根据题意知,Ak中的0和1的个数总是相等,且共有2k+1个,
∴bk+1=lk+2k,
∴lk+2=lk+2k,
由A0:0、1可得A1:1、0、0、1,A2:0、1、1、0、1、0、0、1,
∴l1=1、l2=2,
当k≥3时,
若k为偶数,lk=lk﹣2+2k﹣2、lk﹣2=lk﹣4+2k﹣4、…、l4=l2+22,
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k﹣2==(2k﹣1),
经检验,k=2时也满足lk=(2k﹣1),
∴当k=10时,l10==341,
故*为:341.
知识点:有理数的乘除法
题型:解答题