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如图,正方形ABCD的边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结,给出如下结论:①DQ=1;②=;③S△PDQ=;④cos∠ADQ=.其中正确结论是 (填写序号)
【回答】
①②④
【分析】①连接OQ,OD,如图1.易*四边形DOBP是平行四边形,从而可得DO∥BP.结合OQ=OB,可*到∠AOD=∠QOD,从而*到△AOD≌△QOD,则有DQ=DA=1;
②连接AQ,如图2,根据勾股定理可求出BP.易*Rt△AQB∽Rt△BCP,运用相似三角形的*质可求出BQ,从而求出PQ的值,就可得到 的值;
③过点Q作QH⊥DC于H,如图3.易*△PHQ∽△PCB,运用相似三角形的*质可求出QH,从而可求出S△DPQ的值;
④过点Q作QN⊥AD于N,如图4.易得DP∥NQ∥AB,根据平行线分线段成比例可得==,把AN=1﹣DN代入,即可求出DN,然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义,就可求出cos∠ADQ的值.
【解答】解:①连接OQ,OD,如图1.
易*四边形DOBP是平行四边形,从而可得DO∥BP.
结合OQ=OB,可*到∠AOD=∠QOD,从而*到△AOD≌△QOD,
则有DQ=DA=1.
故①正确;
②连接AQ,如图2.
则有CP=,BP==.
易*Rt△AQB∽Rt△BCP,
运用相似三角形的*质可求得BQ=,
则PQ=﹣=,
∴=.
故②正确;
③过点Q作QH⊥DC于H,如图3.
易*△PHQ∽△PCB,
运用相似三角形的*质可求得QH=,
∴S△DPQ=DP•QH=××=.
故③错误;
④过点Q作QN⊥AD于N,如图4.
易得DP∥NQ∥AB,
根据平行线分线段成比例可得==,
则有=,
解得:DN=.
由DQ=1,得cos∠ADQ==.
故④正确.
综上所述:正确结论是①②④.
故*为:①②④.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:填空题