问题详情:
数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点,其“欧拉线”的直线方程为,则的顶点的坐标__________.
【回答】
【分析】
设,由题意结合重心的*质可得,求得AB的中垂线方程,与欧拉线方程联立可得外心,由外心的*质可得,解方程即可得解.
【详解】
设,由重心坐标公式得的重心为,
代入欧拉线方程得整理得①,
因为AB的中点为,,所以AB的中垂线的斜率为,
所以AB的中垂线方程为即,
联立,解得,
∴的外心为,
则②,
联立①②得或,
当时,点B、C两点重合,舍去;
∴即的顶点的坐标为.
故*为:.
【点睛】
本题考查了直线方程的求解与应用,考查了两点间距离公式的应用,关键是对题意的正确转化,属于中档题.
知识点:导数及其应用
题型:填空题