問題詳情：
已知數列
滿足
，且
．
Ⅰ
使用數學歸納法*：
；
Ⅱ
*：
；
Ⅲ
設數列
的前n項和爲
，*：
．
【回答】
（I）詳見解析；（II）詳見解析；（III）詳見解析.
【解析】
Ⅰ
利用數學歸納法，分別討論當
時和當
時的情況；
Ⅱ
，由
Ⅰ
知
，故
；
Ⅲ
因爲
，所以
，由
可得
，進而可表示出
，利用裂項相消法即可求出
，從而*得
．
【詳解】
解：
Ⅰ
當
時，
，故當
時命題成立；
假設
時命題成立，即
，
當
時，注意
在
單調遞增，
所以
，
故
，故當
時命題成立．
因此對任意的
，有
；
Ⅱ
由
，
由
Ⅰ
知
，
故
．
Ⅲ
因爲
，所以
因爲
，
所以
，
故有
，
．
綜上所述，
．
【點睛】
本題考查了數學歸納法的運用，考查了數列求和的方法，屬於中檔題．
知識點：數列
題型：解答題
