問題詳情:
如圖1,以▱ABCD的較短邊CD爲一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上,連接BE,交AF於點G.
(1)猜想BG與EG的數量關係,並說明理由;
(2)延長DE、BA交於點H,其他條件不變:
①如圖2,若∠ADC=60°,求的值;
②如圖3,若∠ADC=α(0°<α<90°),直接寫出的值(用含α的三角函數表示)
【回答】
解:(1)BG=EG,理由是:
如圖1,∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵四邊形CFED是菱形,
∴EF=CD,EF∥CD,
∴AB=EF,AB∥EF,
∴∠A=∠GFE,
∵∠AGB=∠FGE,
∴△BAG≌△EFG,
∴BG=EG;
(2)①如圖2,設AG=a,CD=b,則DF=AB=b,
由(1)知:△BAG≌△EFG,
∴FG=AG=a,
∵CD∥BH,
∴∠HAD=∠ADC=60°,
∵∠ADE=60°,
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°,
∴△ADH是等邊三角形,
∴AD=AH=2a+b,
∴==;
②如圖3,連接EC交DF於O,
∵四邊形CFED是菱形,
∴EC⊥AD,FD=2FO,
設AG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,
Rt△EFO中,cosα=,
∴OF=bcosα,
∴DG=a+2bcosα,
過H作HM⊥AD於M,
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α,
∴AH=HD,
∴AM=AD=(2a+2bcosα)=a+bcosα,
Rt△AHM中,cosα=,
∴AH=,
∴==cosα.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題