問題詳情:
爲了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機抽取了容量爲120的樣本,測量樹苗高度(單位:cm),經統計,其高度均在區間[19,31]內,將其按[19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]分成6組,制成如圖所示的頻率分佈直方圖.其中高度爲27 cm及以上的樹苗爲優質樹苗.
(1)求圖中a的值;
(2)已知所抽取的這120棵樹苗來自於A,B兩個試驗區,部分數據如下列聯表:
A試驗區 | B試驗區 | 合計 | |
優質樹苗 | 20 | ||
非優質樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯表補充完整,並判斷是否有99.9%的把握認爲優質樹苗與A,B兩個試驗區有關係,並說明理由;
(3)用樣本估計總體,若從這批樹苗中隨機抽取4棵,其中優質樹苗的棵數爲X,求X的分佈列和數學期望EX.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中.)
【回答】
(1)根據直方圖數據,有,
解得.
(2)根據直方圖可知,樣本中優質樹苗有,列聯表如下:
A試驗區 | B試驗區 | 合計 | |
優質樹苗 | 10 | 20 | 30 |
非優質樹苗 | 60 | 30 | 90 |
合計 | 70 | 50 | 120 |
可得.
所以,沒有99.9%的把握認爲優質樹苗與A,B兩個試驗區有關係.
(3)由已知,這批樹苗爲優質樹苗的概率爲,且X服從二項分佈B(4,),
;;
;;
.
所以X的分佈列爲:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
故數學期望EX=.
【點睛】“求期望”,一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望.對於某些實際問題中的隨機變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分佈(如二項分佈),則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分佈的期望公式()求得.因此,應熟記常見的典型分佈的期望公式,可加快解題速度.
知識點:統計
題型:解答題