問題詳情：
已知數列{an}滿足
(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).
(1)求a1,a2和{an}的通項公式;
(2)記數列{an-kn}的前n項和爲Sn,若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解(1)由題意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1=1×22=4,a1+2a2=2×23,得a2=6.
由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2),
相減得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,
得an=2n+2,當n=1也滿足上式.
所以{an}的通項公式爲an=2n+2.
(2)數列{an-kn}的通項公式爲an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2,
所以數列{an-kn}是以4-k爲首項,公差爲2-k的等差數列.
若Sn≤S4對任意的正整數n恆成立,等價於當n=4時,Sn取得最大值,
所以
解得
k
知識點：數列
題型：解答題
