問題詳情：
已知函數 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．
（1）寫出函數 f（x）的最小正週期（不必寫出過程）；
（2）求函數 f（x）的最大值；
（3）當a＝1時，若函數 f（x）在區間（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015個零點，求k的值．
【回答】
（1）最小正週期爲π．（2）見解析（3）k＝1008．
【分析】
（1）由題意結合周期函數的定義直接求解即可；
（2）令
，t∈[1，
]，則當
時，
，
當
時，
，易知
，分類比較
、
的大小即可得解；
（3）轉化條件得當且僅當sin2x＝0時，f（x）＝0，則x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點，結合函數的週期即可得解.
【詳解】
（1）函數 f（x）的最小正週期爲π．
（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1
＝a
sin2x﹣1＝a
（sin2x+1），
令t
，t∈[1，
]，
當
時，
，
當
時，
，
∵
即
.
∴
，
∵
，
，
∴當
時，
最大值爲
；當
，
最大值爲
.
（3）當a＝1時，f（x）
，
若f（x）＝0，則
即
，
∴當且僅當sin2x＝0時，f（x）＝0，
∴x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點分別爲
，π，
∴2015＝2×1007+1，
∴k＝1008．
【點睛】
本題考查了三角函數的綜合問題，考查了分類討論思想和轉化化歸思想，屬於難題.
知識點：三角函數
題型：解答題
